Родился в деревне Фаришонки Слободского уезда. Работал секретарем многотиражной газеты «Меховщик». Принимал участие в выпусках первых поэтических сборников слобожан. В одном из них была напечатана поэма «Тракторист Перевалов». Участник Великой Отечественной войны.
В августе 1943 года А. Елькин написал свое первое самое известное стихотворение «На Курской дуге». Строка : «Взяли Клин – возьмем и Берлин» стала крылатой среди солдат. После войны Елькин жил в Туле. В 1953 году вышла книга стихов «На передовом крае». Затем последовали сборники «Верность», «Встречный ветер» в которых ощущалась связь с вятской природой и людьми.
В последние годы жизни работал над поэмой «Берлинская весна», позднее вышел сборник «Дыхание весны», где есть стихи, посвященные родной деревне, матери, сестре, Слободскому и слобожанам. Выпущено более 40 публикаций произведений А. А. Елькина.
«Я в Фаришонках,
Сколько, сколько лет отсчитано
Они необратимы.
Нет стариков и сверстников
Уж нет в селе моем,
В селе единственно родимом…»
